Константа Маделунга

Окружение центрального атома для структурного типа NaCl

В ионном кристалле М^z+ Х^z- со структурой, например, типа NaCl каждый данный ион имеет октаэдрическое окружение из 6 ионов противоположного знака на расстоянии $R\sqrt(1)=a/2$ (а - период кубической элементарной ячейки), затем 12 ионов того же знака на расстоянии $R\sqrt(2)$ , затем 8 ионов противоположного знака на расстоянии $R\sqrt(3)$ и т. д.
Кулоновское взаимодействие данного иона со всем его окружением будет определяться суммой вида: ${ -z^{2}e^{2}\over {R}} (6\sqrt(1)-12\sqrt(2)+8\sqrt(3)-6\sqrt(4)+24\sqrt(5)- ...)= A{ -z^{2}e^{2}\over {R}}$

Величина A, получаемая в результате суммирования бесконечного ряда, заключенного в скобки, зависит от геометрического типа структуры, но не от периода идентичности (межатомных расстояний). Она называется Константой Маделунга в честь ученого, который впервые рассчитал подобные суммы для некоторых наиболее важных и простых структур. Знакопеременный ряд очень медленно сходится, и его нелегко точно рассчитать прямым суммированием. Однако разработан целый ряд эффективных математических методов ускорения сходимости таких рядов и с применением современных вычислительных средств и соответствующих программ расчет константы Маделунга для кристаллической структуры любой степени сложности не представляет проблемы. Как легко заметить, в числителях всех последовательных членов ряда стоят первое, второе, третье и т.д. координационные числа (КЧ), а в знаменателях – отношение соответствующих межатомных расстояний к кратчайшим расстояниям R. Отсюда ясно, что константа A действительно является геометрической характеристикой структурного типа, а не конкретного кристаллического вещества.

Литература:

Урусов В.С., Ерёмин Н.Н. Кристаллохимия, краткий курс., М., МГУ, 2004.