Геологический факультет МГУ:Вычислительная математика

Материал из GeoWiki - открытой энциклопедии по наукам о Земле.

Автор - доц. Лапшин Евгений Александрович.
Курс читается в 3 и 4 семестрах для студентов специальности 011200 - геофизика.
Объем курса - 78 часов, лекции - 36 часов, практические занятия - 24 часа, семинарские занятия - 18 часов.
Форма контроля. Зачет в 3 семестре, экзамен в 4 семестре.

Аннотация.

На основе понятий функционального пространства и оператора дать студентам общий подход к применению методов вычислительной математики для решения конкретных задач. В программу курса входят задача приближеня функций, вычисления интегралов, нахождения корней алгебраических уравнений, решение систем линейных уравнений и др.

Содержание курса

1. Введение. Линейные функциональные пространства: элемент пространства, размерность пространства, метрика. Оператор и функционал. Норма, скалярное произведение, полнота пространства, ее роль в решении задач. Примеры полных и неполных нормированных пространств.
2. Интерполяционный многочлен Лагранжа: его форма записи, оценка погрешности. Многочлены Чебышева первого рода. Оптимизация оценки погрешности интерполяционной формулы Лагранжа.
3. Постановка задачи об элементе наилучшего приближения. Построение элемента наилучшего приближения в гильбертовом пространстве (в частности, в L2[a,b]), его свойства, единственность. Теорема Чебышева о многочлене наилучшего равномерного приближения (доказательство достаточности). Единственность многочлена наилучшего равномерного приближения.
4. Постановка задачи о приближенном вычислении интеграла. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Составные квадратурные формулы. Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций. Оценка погрешности. Квадратурные формулы Гаусса, их построение, оценка погрешности. Квадратурные формулы для вычисления интегралов от быстроосциллирующих функций. Метод Монте-Карло приближенного вычисления интегралов. Правило Рунге практической оценки погрешности.
5. Приближенное вычисление корней алгебраических (нелинейных) уравнений. Метод секущих, метод касательных. Построение итераций заданного порядка. Метод простой итерации. Метод Ньютона.
6. Итерационные методы решения линейных алгебраических систем. Метод простой итерации. Метод Зейделя. Метод наискорейшего градиентного спуска. Дельта-квадрат процесс ускорения сходимости. Метод Ричардсона.
7. Методы (формулы) Рунге-Кутта приближенного вычисления решения задачи Коши: y‘=f(x,y), y(x₀)=y₀. Метод неопределенных коэффициентов, условие устойчивости разностной схемы для y‘=f(x,y). Метод прогонки решения систем с трехдиагональной матрицей. Его устойчивость. Метод стрельбы. Методы решения нелинейных краевых задач для y‘‘=f(x,y,y‘). Основные понятия разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимость. Их связь для линейных операторов. Вариационно-разностные методы. Метод Ритца. Метод Галеркина. Разностные схемы для уравнений в частных производных. Спектральный признак устойчивости разностных схем для уравнений в частных производных.

Литература

1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1,2. М., Физматгиз, 1960.
2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1989.
3. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. М., Мир, 1983.